Undetermined coefficients

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non-homogeneous differential equation을  풀어볼 것이다. 아래와 같은 식이 있다.

$y^{``} -3 y^{`} -4 y = 3 e^{2x}$

 

식을 보면 알 수 있는데, 우변이 0이 아니기 때문에 homogeneous equation이 아니다. 이 경우 어떻게 풀까?

이런 경우를 푸는 방식 중 하나가 undetermined coefficients 이다.

 

우리가 위 식에서 우 변을 0으로 둬서 homogeneous differential equation을 풀어서, solution $y = h$ 를 얻었다고 하자.

그리고 non-homogeneous equation 을 풀어서 soltuion $y = j$ 를 얻었다고 하자.

 

그러면 두 solution 을 더하게 되면 어떻게 되는가? $y = h+j$ 그러면 방정식을 만족한다. $h$의 우변은 0이고, $j$ 의 우변은 $3 e^{2x}$이기 때문이다. (뭔가 그렇다고 하니깐 알겠긴 하겠는데, 좀 더 엄밀하게 배울 필요는 있어보인다..)

$(h^{``}+j^{``}) -3 (h^{`}+j^{`}) -4 (h+j) = 3 e^{2x}$

 

일단 homogeneous equation 에 따른 solution $h$ 를 구해보자. 이건 우리가 이전에 다뤘었다.

 

일단 homogeneous equation을 둔다.

$y^{``} -3 y^{`} -4 y = 0$

 

solution 형태를 지수 함수 형태를 띄게 하고 homogeneous equation 에서의 general solution 을 구한다.

$y = e^{rx}$

$y^{``} -3 y^{`} -4 y = y (r^{2} - 3r - 4) = y (r-4) (r+1) = 0$

$h = C_1 \cdot e^{4x} + C_2 \cdot e^{-x}$

 

자 이제 $y^{``} -3 y^{`} -4 y = 3 e^{2x}$에 대한 solution $j$ 를 구해야 한다. 이 solution $j$를 particular solution이라고 한다.

이 때 적용되는 방법이 undetermined coefficients 이다. homogeneous equation 을 풀 때와 마찬가지로 solution $j$ 가 가지는 적절한 함수 형태를 생각해야 하는데, 이번 케이스의 경우 우변이 지수 함수 형태 ($3 e^{2x}$) 를 띄기 때문에 우리도 같은 형태를 띄게 해준다. 이 때 우리의 방법이 "undertermined coefficient" 라는 부분을 사용하는데, coefficient term 만 arbitrary 하게 설정하여 $j = C e^{2x}$ 의 형태로 시작하여 solution 을 찾게 된다.

$j = C e^{2x}$

$j^{`} = 2C e^{2x}$

$j^{``} = 4C e^{2x}$

 

식에 대입한다.

$y^{``} -3 y^{`} -4 y = -6C e^{2x} = 3 e^{2x}$

$\rightarrow C = -\frac{1}{2}$

$j = -\frac{1}{2}e^{2x}$

 

위에서 말했던 것처럼 non-homogeneous differential equation 의 general solution 은 homogeneous solution + particular solution 이기 때문에 $y = h + j$ 가 되고 general solution 은 아래와 같다.

 

$y(x) = C_1 \cdot e^{4x} + C_2 \cdot e^{-x}-\frac{1}{2}e^{2x}$