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Laplace transform (1) 본문
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미분 방정식을 쉽게 풀기 위한 유용한 도구인 laplace transform에 대해 알아본다.
laplace transform 의 식은 아래와 같다.
L{f(t)}=∫∞t=0f(t)e−stdt=F(s)L{f(t)}=∫∞t=0f(t)e−stdt=F(s)
위를 보게 되면 LL 변환을 통해 tt 에 대한 식인 f(t)f(t) 를 ss 에 대한 식으로 변환된다.
후에 역변환을 통해 다시 tt에 대한 식으로 되돌려주게 되는데 이 과정을 통해 미분방정식을 더 쉽게 풀 수 있게 해준다고 한다.
본 포스팅에서는 몇 가지 f(t)f(t) 에 대해 laplace transform 을 해보도록 하겠다.
여기서는 변환만 소개하고 역변환을 포함한 미분 방정식 풀이는 다음 포스팅에서 마저 진행한다.
그 전에 아래 풀이 과정에서 자주 쓰이는 부분적분에 대한 식을 정리해두고 가려 한다.
(wv)‘=w‘v+wv‘(wv)‘=w‘v+wv‘
∫(wv)‘=∫w‘v+∫wv‘∫(wv)‘=∫w‘v+∫wv‘
wv=∫w‘v+∫wv‘wv=∫w‘v+∫wv‘
∫w‘v=wv−∫wv‘∫w‘v=wv−∫wv‘
f(t)=1f(t)=1
L{f(t)}=∫∞t=0e−stdtL{f(t)}=∫∞t=0e−stdt
=−1se−st|t=∞t=0=1s=−1se−st|t=∞t=0=1s (if s>0s>0)
f(t)=eatf(t)=eat
L{f(t)}=∫∞t=0e−steatdtL{f(t)}=∫∞t=0e−steatdt
=∫∞t=0e(a−s)tdt=1a−sea−st|t=∞t=0=∫∞t=0e(a−s)tdt=1a−sea−st|t=∞t=0
=1s−a=1s−a (if a<s)a<s)
f(t)=sin(at)f(t)=sin(at)
L{f(t)}=∫∞t=0e−stsin(at)dtL{f(t)}=∫∞t=0e−stsin(at)dt
부분적분을 사용한다. ∫w‘v=wv−∫wv‘∫w‘v=wv−∫wv‘
let w‘=e−st,w=−1se−stw‘=e−st,w=−1se−st
let v=sin(at),v‘=acos(at)v=sin(at),v‘=acos(at)
∫∞t=0e−stsin(at)dt=−1se−stsin(at)−∫−1se−stacos(at)dt∫∞t=0e−stsin(at)dt=−1se−stsin(at)−∫−1se−stacos(at)dt
=−1se−stsin(at)+−as∫−stcos(at)dt_=−1se−stsin(at)+−as∫−stcos(at)dt–––––––––––––––
밑줄 친 부분도 부분적분을 통해 식을 풀어준다.
∫−stcos(at)dt=−e−stscos(at)−as∫e−stsin(at)dt_∫−stcos(at)dt=−e−stscos(at)−as∫e−stsin(at)dt––––––––––––––––
위의 밑줄 친 부분은 우리가 처음에 풀려고 한 식 L{f(t)}L{f(t)} 임을 알 수 있다.
y=L{f(t)}y=L{f(t)} 로 해서 식을 단순화해보자.
y+a2s2y=−e−stssin(at)+as(−e−stscos(at))y+a2s2y=−e−stssin(at)+as(−e−stscos(at))
(s2+a2s2)y=[−e−stssin(at)+as(−e−stscos(at))]t=∞t=0(s2+a2s2)y=[−e−stssin(at)+as(−e−stscos(at))]t=∞t=0
=0−(−1⋅(0+as2))=as2=0−(−1⋅(0+as2))=as2
(s2+a2s2)y=as2(s2+a2s2)y=as2
y=aa2+s2y=aa2+s2
f(t)=c1g(t)+c2h(t)f(t)=c1g(t)+c2h(t)
laplace transform 은 linear operator 이다. 즉 해당 변환은 선형 결합을 보존한다.
L{c1g(t)+c2h(t)}=∫∞t=0e−st[c1g(t)+c2h(t)]dtL{c1g(t)+c2h(t)}=∫∞t=0e−st[c1g(t)+c2h(t)]dt
=c1∫∞t=0e−stg(t)dt+c2∫∞t=0e−sth(t)dt=c1∫∞t=0e−stg(t)dt+c2∫∞t=0e−sth(t)dt
=c1⋅L{g(t)}+c2⋅L{h(t)}=c1⋅L{g(t)}+c2⋅L{h(t)}
f(t)=g‘(t)f(t)=g‘(t)
derivative 에 대한 laplace transform 에 대해 알아보자. derivative 에 대한 변환은 laplace transform 을 통해 미분방정식을 푸는 용이함에 큰 기여를 한다.
L{g‘(t)}=∫∞t=0e−stg‘(t)dtL{g‘(t)}=∫∞t=0e−stg‘(t)dt
부분적분을 사용한다. ∫w‘v=wv−∫wv‘∫w‘v=wv−∫wv‘
let w‘=g‘(t),w=g(t)w‘=g‘(t),w=g(t)
let v=e−st,v‘=−se−stv=e−st,v‘=−se−st
∫∞t=0e−stg‘(t)dt=e−stg(t)|t=∞t=0−∫∞t=0−se−stg(t)dt∫∞t=0e−stg‘(t)dt=e−stg(t)|t=∞t=0−∫∞t=0−se−stg(t)dt
(0−g(0))+s∫∞t=0e−stg(t)dt_(0−g(0))+s∫∞t=0e−stg(t)dt–––––––––––––––
밑줄 친 부분은 L{g(t)}L{g(t)} 임을 알 수 있다. 그러므로,
L{g‘(t)}=sL{g(t)}−g(0)L{g‘(t)}=sL{g(t)}−g(0)
어떤 함수의 derivative 에 대한 laplace transform 식은 그 함수에 대한 식에 대한 laplace transform 으로 표현할 수 있다.
이 식을 사용해서 몇 가지 함수에 대한 laplace transform 을 풀어보자.
f(t)=cos(at)f(t)=cos(at)
L{cos(at)}=∫∞t=0e−stcos(at)dtL{cos(at)}=∫∞t=0e−stcos(at)dt
위 식을 풀려면 우리가 위에서 진행한 sin(at)sin(at) 과 같이 부분적분을 포함한 복잡한 전개식을 풀어야 한다. 하지만 derivative에 대한 laplace transform 을 사용해 쉽게 풀 수 있다.
let f‘(t)=cos(at)f‘(t)=cos(at)
let f(t)=1asin(at)f(t)=1asin(at)
L{f‘(t)}=sL{f(t)}−f(0)L{f‘(t)}=sL{f(t)}−f(0)
=sa⋅aa2+s2−0=sa2+s2=sa⋅aa2+s2−0=sa2+s2
f(t)=tnf(t)=tn
L{tn}=∫∞t=0e−sttndtL{tn}=∫∞t=0e−sttndt
이 식을 풀 땐, derivative 에 대한 변환식을 약간 이항해줘 사용한다.
L{f‘(t)}=sL{f(t)}−f(0)L{f‘(t)}=sL{f(t)}−f(0)
L{f(t)}=1s(L{f‘(t)}+f(0))L{f(t)}=1s(L{f‘(t)}+f(0))
let f(t)=tnf(t)=tn
let f‘(t)=ntn−1f‘(t)=ntn−1
L{tn}=nsL{tn−1}L{tn}=nsL{tn−1}
위 식의 우변에 있는 변환식 부분은 L{1}L{1} 까지 계속해서 계산될 수 있으며 이에 따라 아래의 결과값이 나온다.
=n!sn+1=n!sn+1
e−stf(t)e−stf(t)
위에서 말했듯 laplace transform 은 tt 에 대한 식을 ss 에 대한 식으로 바꿔준다. f(t)→F(s)f(t)→F(s)
f(t)f(t)에 지수함수 eateat 를 곱해준 형태를 laplace transform 해주면, 변환된 식을 shifting 한 형태가 F(s−a)F(s−a) 된다.
L{eatf(t)}=∫∞t=0eate−stf(t)dtL{eatf(t)}=∫∞t=0eate−stf(t)dt
∫∞t=0e−(s−a)tf(t)dt=F(s−a)∫∞t=0e−(s−a)tf(t)dt=F(s−a)
이 식을 사용하면 복잡해보이는 형태의 함수의 laplace transform을 간단하게 계산할 수 있다.
L{e3tcos(2t)}=F(s−3)=s−3(s−3)2+4L{e3tcos(2t)}=F(s−3)=s−3(s−3)2+4
μc(t)f(t−c)μc(t)f(t−c)
μc(t)μc(t) 은 tt가 특정값 cc 를 넘으면 1로 활성화되는 step function이다.
μc(t)=1 if t < c 0 elseμc(t)=1 if t < c 0 else
이 step function이 f(t−c)f(t−c) 과 곱해지면, 함수 f(t)f(t) 가 tt 축으로 cc 만큼 shifting 되는 형태가 된다. t<ct<c 의 경우에는 0이 된다.
μc(t)f(t−c)μc(t)f(t−c)
μc(t)=1 if t < c 0 elseμc(t)=1 if t < c 0 else
L{μc(t)f(t−c)}=∫∞t=0e−stμc(t)f(t−c)dtL{μc(t)f(t−c)}=∫∞t=0e−stμc(t)f(t−c)dt
=∫∞t=ce−stf(t−c)dt=∫∞t=ce−stf(t−c)dt
식을 간단하게 만들기 위해 아래와 같은 변수 변환 과정을 거친다.
let x=t−c,t=x+cx=t−c,t=x+c
dxdt=1→dx=dtdxdt=1→dx=dt
=∫∞t=ce−stf(t−c)dt
=∫∞x=0e−s(x+c)f(x)dx=e−sc∫∞x=0e−sxf(x)dx
=e−scL{f(t)}
아래 예시 문제를 풀어보자.
L{μπ(t)sin(t−π)}=e−sπL{sin(t)}
=e−sπ1s2+1
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