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Laplace transform (1) 본문

[수학 공부]/[Differential Equation]

Laplace transform (1)

hskimim 2024. 7. 4. 15:36

강의 : 링크

 

미분 방정식을 쉽게 풀기 위한 유용한 도구인 laplace transform에 대해 알아본다.

laplace transform 의 식은 아래와 같다.

 

L{f(t)}=t=0f(t)estdt=F(s)L{f(t)}=t=0f(t)estdt=F(s)

 

위를 보게 되면 LL 변환을 통해 tt 에 대한 식인 f(t)f(t)ss 에 대한 식으로 변환된다.

후에 역변환을 통해 다시 tt에 대한 식으로 되돌려주게 되는데 이 과정을 통해 미분방정식을 더 쉽게 풀 수 있게 해준다고 한다.

 

본 포스팅에서는 몇 가지 f(t)f(t) 에 대해  laplace transform 을 해보도록 하겠다. 

여기서는 변환만 소개하고 역변환을 포함한 미분 방정식 풀이는 다음 포스팅에서 마저 진행한다.

 

그 전에 아래 풀이 과정에서 자주 쓰이는 부분적분에 대한 식을 정리해두고 가려 한다.

(wv)=wv+wv(wv)=wv+wv

(wv)=wv+wv(wv)=wv+wv

wv=wv+wvwv=wv+wv

wv=wvwvwv=wvwv


f(t)=1f(t)=1

L{f(t)}=t=0estdtL{f(t)}=t=0estdt

=1sest|t=t=0=1s=1sest|t=t=0=1s (if s>0s>0)

 


f(t)=eatf(t)=eat

L{f(t)}=t=0esteatdtL{f(t)}=t=0esteatdt

=t=0e(as)tdt=1aseast|t=t=0=t=0e(as)tdt=1aseast|t=t=0

=1sa=1sa (if a<s)a<s)

 


f(t)=sin(at)f(t)=sin(at)

L{f(t)}=t=0estsin(at)dtL{f(t)}=t=0estsin(at)dt

부분적분을 사용한다. wv=wvwvwv=wvwv

let w=est,w=1sestw=est,w=1sest

let v=sin(at),v=acos(at)v=sin(at),v=acos(at)

 

t=0estsin(at)dt=1sestsin(at)1sestacos(at)dtt=0estsin(at)dt=1sestsin(at)1sestacos(at)dt

=1sestsin(at)+asstcos(at)dt_=1sestsin(at)+asstcos(at)dt–––––––––––––

 

밑줄 친 부분도 부분적분을 통해 식을 풀어준다.

stcos(at)dt=estscos(at)asestsin(at)dt_stcos(at)dt=estscos(at)asestsin(at)dt––––––––––––––

 

위의 밑줄 친 부분은 우리가 처음에 풀려고 한 식 L{f(t)}L{f(t)} 임을 알 수 있다.

y=L{f(t)}y=L{f(t)} 로 해서 식을 단순화해보자.

 

y+a2s2y=estssin(at)+as(estscos(at))y+a2s2y=estssin(at)+as(estscos(at))

(s2+a2s2)y=[estssin(at)+as(estscos(at))]t=t=0(s2+a2s2)y=[estssin(at)+as(estscos(at))]t=t=0

=0(1(0+as2))=as2=0(1(0+as2))=as2

(s2+a2s2)y=as2(s2+a2s2)y=as2

y=aa2+s2y=aa2+s2


f(t)=c1g(t)+c2h(t)f(t)=c1g(t)+c2h(t)

 

laplace transform 은 linear operator 이다. 즉 해당 변환은 선형 결합을 보존한다.

L{c1g(t)+c2h(t)}=t=0est[c1g(t)+c2h(t)]dtL{c1g(t)+c2h(t)}=t=0est[c1g(t)+c2h(t)]dt

=c1t=0estg(t)dt+c2t=0esth(t)dt=c1t=0estg(t)dt+c2t=0esth(t)dt

=c1L{g(t)}+c2L{h(t)}=c1L{g(t)}+c2L{h(t)}

 


f(t)=g(t)f(t)=g(t)

derivative 에 대한 laplace transform 에 대해 알아보자. derivative 에 대한 변환은 laplace transform 을 통해 미분방정식을 푸는 용이함에 큰 기여를 한다.

 

L{g(t)}=t=0estg(t)dtL{g(t)}=t=0estg(t)dt

부분적분을 사용한다. wv=wvwvwv=wvwv

let w=g(t),w=g(t)w=g(t),w=g(t)

let v=est,v=sestv=est,v=sest

 

t=0estg(t)dt=estg(t)|t=t=0t=0sestg(t)dtt=0estg(t)dt=estg(t)|t=t=0t=0sestg(t)dt

(0g(0))+st=0estg(t)dt_(0g(0))+st=0estg(t)dt–––––––––––––

밑줄 친 부분은 L{g(t)}L{g(t)} 임을 알 수 있다. 그러므로,

L{g(t)}=sL{g(t)}g(0)L{g(t)}=sL{g(t)}g(0)

 

어떤 함수의 derivative 에 대한 laplace transform 식은 그 함수에 대한 식에 대한 laplace transform 으로 표현할 수 있다.

이 식을 사용해서 몇 가지 함수에 대한 laplace transform 을 풀어보자.


f(t)=cos(at)f(t)=cos(at)

L{cos(at)}=t=0estcos(at)dtL{cos(at)}=t=0estcos(at)dt

위 식을 풀려면 우리가 위에서 진행한 sin(at)sin(at) 과 같이 부분적분을 포함한 복잡한 전개식을 풀어야 한다. 하지만 derivative에 대한 laplace transform 을 사용해 쉽게 풀 수 있다.

 

let f(t)=cos(at)f(t)=cos(at)

let f(t)=1asin(at)f(t)=1asin(at)

 

L{f(t)}=sL{f(t)}f(0)L{f(t)}=sL{f(t)}f(0)

=saaa2+s20=sa2+s2=saaa2+s20=sa2+s2

 


f(t)=tnf(t)=tn

L{tn}=t=0esttndtL{tn}=t=0esttndt

이 식을 풀 땐, derivative 에 대한 변환식을 약간 이항해줘 사용한다.

 

L{f(t)}=sL{f(t)}f(0)L{f(t)}=sL{f(t)}f(0)

L{f(t)}=1s(L{f(t)}+f(0))L{f(t)}=1s(L{f(t)}+f(0))

 

let f(t)=tnf(t)=tn

let f(t)=ntn1f(t)=ntn1

 

L{tn}=nsL{tn1}L{tn}=nsL{tn1}

위 식의 우변에 있는 변환식 부분은 L{1}L{1} 까지 계속해서 계산될 수 있으며 이에 따라 아래의 결과값이 나온다.

=n!sn+1=n!sn+1

 


 

estf(t)estf(t)

위에서 말했듯 laplace transform 은 tt 에 대한 식을 ss 에 대한 식으로 바꿔준다. f(t)F(s)f(t)F(s)

f(t)f(t)에 지수함수 eateat 를 곱해준 형태를 laplace transform 해주면, 변환된 식을 shifting 한 형태가 F(sa)F(sa) 된다.

 

L{eatf(t)}=t=0eatestf(t)dtL{eatf(t)}=t=0eatestf(t)dt

t=0e(sa)tf(t)dt=F(sa)t=0e(sa)tf(t)dt=F(sa)

 

이 식을 사용하면 복잡해보이는 형태의 함수의 laplace transform을 간단하게 계산할 수 있다.

 

L{e3tcos(2t)}=F(s3)=s3(s3)2+4L{e3tcos(2t)}=F(s3)=s3(s3)2+4


μc(t)f(tc)μc(t)f(tc)

μc(t)μc(t)tt가 특정값 cc 를 넘으면 1로 활성화되는 step function이다.

μc(t)=1 if t < c 0 elseμc(t)=1 if t < c 0 else

 

이 step function이 f(tc)f(tc) 과 곱해지면, 함수 f(t)f(t)tt 축으로 cc 만큼 shifting 되는 형태가 된다.  t<ct<c 의 경우에는 0이 된다.

 

μc(t)f(tc)μc(t)f(tc)

μc(t)=1 if t < c 0 elseμc(t)=1 if t < c 0 else

 

L{μc(t)f(tc)}=t=0estμc(t)f(tc)dtL{μc(t)f(tc)}=t=0estμc(t)f(tc)dt

=t=cestf(tc)dt=t=cestf(tc)dt

 

식을 간단하게 만들기 위해 아래와 같은 변수 변환 과정을 거친다.

let x=tc,t=x+cx=tc,t=x+c

dxdt=1dx=dtdxdt=1dx=dt

 

=t=cestf(tc)dt

=x=0es(x+c)f(x)dx=escx=0esxf(x)dx

=escL{f(t)}

 

아래 예시 문제를 풀어보자.

L{μπ(t)sin(tπ)}=esπL{sin(t)}

=esπ1s2+1