First order homogeneous equations

강의 : [링크]

참고 : [링크] [링크]

 

homogeneous function이란 함수의 인자에 임의의 scalar $s$ 를 곱해준 것과 함수의 결과값에 임의의 scalar $s$에 $k$ 제곱을 곱해준 것이 서로 같으면 $k$ degree에 대해서 homogeneous 한다고 얘기한다. 식으로 표현하면 아래와 같다.

 

$f(s x_1, ..., s x_n) = s^k \dot f(x_1, ..., x_n)$

 

만약 양수 $s$ 에 대해서만 성립하는 $f$ 라면 positively homogeneous 라고 하며 대표적으로 vector norm이 있다.

---

 

강의에서 first order homogeneous equation 의 설명을 아래와 같이 한다.

 

미분 방정식이 아래와 같이 있을 때,

$\frac{dy}{dx} = f(x,y)$

 

이 식을 아래와 같이 표현할 수 있다면, first order homogeneous equation 이다.

$\frac{dy}{dx} = g(\frac{y}{x})$ 

 

예로 들면, 아래와 같은 함수는 first order homogeneous equation이다.

$f(x,y) = \frac{x+y}{x} = 1 + \frac{y}{x}$

 

정의라기보다는, 우리가 임의의 미분 방정식을 마주했을 때, 이것이 first order homogeneous equation인지를 빠르게 판단할 수 있는 기준을 준 것이다. 가장 처음 말한 homogeneous function에 대한 정의를 사용하여 이를 한 번 유도해보자.

 

아래 형태의 미분 방정식이 있다고 하자. 그리고 이를 정리해서 $\frac{dy}{dx}$ 에 대한 식으로 써보면 다음과 같다.

$M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0$

$M(x,y) + N(x,y)\frac{dy}{dx} = 0$

$\frac{dy}{dx} = \frac{-M(x,y)}{N(x,y)}$

 

first order differential equation이 homogeneous 하기 위해서는 $M(x,y), N(x,y)$이 homogeneous function이여야 한다.

$M(\lambda x, \lambda y) = \lambda^n \cdot M(x,y)$

$N(\lambda x, \lambda y) = \lambda^n \cdot N(x,y)$

$\frac{M(\lambda x, \lambda y)}{N(\lambda x, \lambda y)} = \frac{M(x,y)}{N(x,y)}$

 

이 때 $\lambda=\frac{1}{x}$ 로 하여 함수의 인자를 하나로 만들어줄 수 있다.

 

$\frac{M(\lambda x, \lambda y)}{N(\lambda x, \lambda y)} = \frac{M(1, \frac{y}{x})}{N(1, \frac{y}{x})} = f(\frac{y}{x})$

 

우리가 위해서 유도한 $\frac{dy}{dx}$ 에 대한 식은 아래와 같으며 homogeneous first order DE를 정리하면 다음과 같다.

부호에 맞춰 함수를 만들면 되기에 부호는 중요하지 않다.

 

$\frac{dy}{dx} = \frac{-M(x,y)}{N(x,y)} = -f(\frac{y}{x}) = g(\frac{y}{x})$

---

예시 문제를 하나 풀어보자

 

$\frac{dy}{dx} = \frac{x^2 + 3y^2}{2xy} = f(x,y)$

 

해당 미분 방정식이 homogeneous 한가? $f(x,y)$ 가 $g(\frac{y}{x})$으로 표현 가능한가? 그렇다

$\frac{x^2 + 3y^2}{2xy} \cdot \frac{\frac{1}{x^2}}{\frac{1}{x^2}} = \frac{1 + 3(\frac{y}{x})^2}{2 \frac{y}{x}}$

 

이제 하나씩 풀어보자.

$v = \frac{y}{x}$

$y = vx$

$\frac{dy}{dx} = v + x\frac{dv}{dx}$

$v + x\frac{dv}{dx} = \frac{1+3v^2}{2v}$

 

위의 마지막 식을 각각 $v,x$에 대한 식으로 정리하면 아래와 같으며 이는 seperable equation이다.

$\frac{2v}{1+v^2}dv = \frac{1}{x}dx$

$\int \frac{2v}{1+v^2}dv = \int \frac{1}{x}dx$

$ln(1+v^2) = ln(x)+c$

$1+v^2 = Cx$

 

식을 정리해서 solution을 찾으면 아래와 같다.

$1+\frac{y^2}{x^2} = Cx$

$x^2+y^2 - Cx^3 = 0$