2nd order linear homogeneous differential equations

강의 : 링크

참고 : 링크, 링크, 링크

 

이번엔 2nd order linear homogeneous DE에 대해 알아본다.

2nd order linear homogeneous DE에 대해 이해하기 위해 키워드 단위로 하나씩 알아가보자.

 

우선 2nd order linear homogeneous DE은 아래처럼 생겼다. 이 때 $d(x) = 0$ 이여야 한다.

$a(x) \frac{d^2y}{dx^2} + b(x) \frac{dy}{dx} + c(x)y = d(x)$

 

2nd order 인 이유는 주어진 식이 갖는 differential operator $\frac{d^i}{dx^i}$ 의 최대 degree $i$ 가 2이기 때문이다.

linear 인 이유는 계수 함수 $a(x), b(x), c(x)$와 unknown function $y$와 그 도함수 $\frac{d^i y}{dx^i}$들이 선형적으로 결합되어 있기 때문이다. $a(x), b(x), c(x)$ 는 선형일 필요가 없다.

homogeneous 인 이유는 주어진 linear equation 의 constant term이 0이면 homogeneous system이라고 한다. ($Ax = 0$)

 

homogeneous system일 경우 몇 가지 특성이 있는데, 일단 $Ax = 0$에서 행렬 $A$ 가 singular 하면 infinite solution을 가지며, non-singular 할 경우 unique solution을 갖게 된다. $x = 0$ 

 

$u$ 가 homogeneous system의 solution일 때, 임의의 scalar $c$를 곱한 $cu$ 또한 solution이 된다.

$u,v$가 homogeneous system의 solution일 때, 두 개를 더한 $u + v$ 또한 solution이 된다.

---

 

다시 2nd order linear homogeneous DE에 대해 살펴보자. constant term 은 0으로 쓰겠다.

$a(x) \frac{d^2y}{dx^2} + b(x) \frac{dy}{dx} + c(x)y = 0$

 

위 식의 coefficient term이 지금은 $x$ 를 인자로 하는 어떤 함수값을 띄고 있는데, 이걸 간단하게 어떤 값으로 표현해보자. 그리고 도함수 부분도 좀 더 간단하게 써보겠다.

$A y^{``} + B y^{`} + Cy = 0$

 

만약 $g,h$가 solution이라고 해보자.

$A g^{``} + B g^{`} + Cg = A h^{``} + B h^{`} + Ch = 0$

 

임의의 scalar $c$ 를 곱한 $cg$ 도 solution인가? 그렇다

$c(A g^{``} + B g^{`} + Cg) = c \cdot 0 = 0$

 

$g+h$ 도 solution인가? 그렇다

$( A g^{``} + B g^{`} + Cg ) + ( A h^{``} + B h^{`} + Ch ) = 0$

 

이에 따라, general solution은 아래와 같이 표현 가능하다.

$y = C_1 \cdot g(x) + C_2 \cdot h(x)$

---

이제 간단한 예시 문제를 풀어보자.

 

$y^{``} + 5y^{`} + 6y = 0$

 

$y$ 를 어떤 식으로 표현해야 좋을까? 지수 함수 형태이다.

$y = e^{rx}$

 

위 형태로 식을 다시 써보면 아래와 같다. $y$는 주어진 형태로는 0이 될 수 없기에 괄호 안의 값에서 solution을 구해야 한다.

 

$r^2y + 5ry + 6y = y(r^2 + 5r + 6) = 0$

 

인수분해하면 다음과 같이 되며, $r$ 값에 대한 solution을 구할 수 있다.

$y(r+2)(r+3) = 0$

$r = -2 or -3$

 

위에서 말한 general solution의 형태로 표현해보자.

$y = C_1 \cdot e^{-2x} + C_2 \cdot e^{-3x}$