Complex roots of the characteristic equations

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본 포스팅은 이전 문서 "First order homogeneous equations" 의 연장선 상에 대한 것이다.

 

저번에 다룬 식들을 보면 아래와 같다.

$Ay^{``} + By^{`} + Cy = 0$

$y = e^{rx}$

$y(Ar^2 + Br + C) = 0$

 

$y$ 는 0이 될 수 없기에 2차식으로 근을 구해야 한다. 이 식은 아래와 같이 구할 수 있다.

$\frac{-B \pm \sqrt{B^2 - 4AC}}{2A}$

 

제목인 complex root가 나오는 경우는 $B^2 - 4AC < 0$ 인 경우이다. 본 포스팅에서는 이 경우를 다룬다.

 

$\frac{-B - \sqrt{B^2 - 4AC}}{2A} = \frac{-B}{2A} \pm \frac{\sqrt{B^2 - 4AC}}{2A}$

 

실수 파트와 허수 파트를 각각 $\lambda, \mu$ 로 나눈다.

$\frac{-B}{2A} \pm \frac{\sqrt{B^2 - 4AC}}{2A} = \lambda \pm \mu i$

 

homogeneous linear DM의 solution은 아래와 같이 나올 것이다.

$y = C_1 \cdot e^{(\lambda + \mu i)x} + C_2 \cdot e^{(\lambda - \mu i)x}$

 

식을 정리해보자.

$C_1 \cdot e^{(\lambda + \mu i)x} + C_2 \cdot e^{(\lambda - \mu i)x} = e^{\lambda x}\{C_1 \cdot e^{\mu i x} + C_2 \cdot e^{-\mu i x}\}$

 

여기서 Euler's formula 를 사용한다. $e^{ix} = cos(x) + i sin(x)$ 이 식을 사용해서 위 식을 다시 써주자.

 

$e^{\lambda x}\{C_1 \cdot (cos(\mu x) + i sin(\mu x)) + C_2 \cdot (cos(-\mu x) + i sin(-\mu x))\}$

 

$sin(x), cos(x)$ 의 특성을 고려해서 위 식을 다시 쓸 수 있다.

$e^{\lambda x}\{C_1 \cdot (cos(\mu x) + i sin(\mu x)) + C_2 \cdot (cos(\mu x) + -i sin(\mu x))\}$

$= e^{\lambda x}\{(C_1+C_2) \cdot cos(\mu x) + (C_1 - C_2)i \cdot sin(\mu x)\}$

 

general solution은 아래와 같다.

$y = e^{\lambda x}\{C_3 \cdot cos(\mu x) + C_4 \cdot sin(\mu x)\}$

 

위에서 실수 파트와 허수 파트를 각각 $\lambda, \mu$ 로 나눴었다. 2nd order linear DE의 근의 공식을 풀고 $\lambda, \mu$를 구한 후, 위의 general solution에 넣어주면 그것이 solution의 일반해가 된다.

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