미분 방정식, Response to Exponential Input

MIT OpenCourseWare 를 듣고 있고, Response to Exponential Input에 대한 부분을 듣고 문제 풀이를 쓴다.

 

문제는 아래와 같다.

 

$\frac{df}{dt} = a \cdot f + e^{st}$

$f_p$$= k \cdot e^{st}$ (particular solution)

$f = f(0) \text{ at } t = 0$

 

narrative하게 만들면, $f$ 가 계좌에 있는 내 돈 (balance)이고, $a$ 가 이자율이며, $t$ 는 시간(년), $s$ 가 적금액이 되겠다.

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differential equation은 주로 homogeneous part 와 non-honogeneous part 로 나뉘어지는데, honogenouse differential equation은 non-honogeneous term 을 0으로 둬서 얻을 수 있다.

 

$\frac{df}{dt} = a(t) \cdot f + b(t) =$ homogeneous + non-homogeneous

 

이에 따라 solution 을 homogeneous part 와 non-homogeneous part 로 나눠서 풀 수 있다.

(사실 homogeneous 부분이 너무 어렵고 헷갈리는데 계속 들으면서 부딪히다보면 어찌 어찌 알아가지 않을까..)

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Homogeneous Solution

$\frac{df}{dt} = af$

 

$\int \frac{1}{f}df = \int a dt$

 

$ln |f| = at + C$

 

$f_h (t) = C \cdot e^{at}$

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Non-Homogeneous Solution

$f_p = k \cdot e^{st}$

 

Substitute $f_p$ into the differential equation : 

$\frac{d f_p}{dt} = ak \cdot e^{st} + e^{st}$

 

$k \cdot se^{st} = ak \cdot e^{st} + e^{st}$

 

$k = \frac{1}{s-a}$

 

$f_p(t) = \frac{e^{st}}{s-a}$

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Final Solution

$f = f_p + f_h = \frac{e^{st}}{s-a} + C \cdot e^{at}$

 

$f_0 = C + \frac{1}{s-a} \rightarrow C = f_0 - \frac{1}{s-a}$

 

$f(t) = (f_0 - \frac{1}{s-a})e^{at} + \frac{e^{st}}{{s-a}}$

 

simplify

 

$f(t) = \frac{e^{st} - e^{at}}{s-a} + f_0 \cdot e^{at}$

 

$s-a$ 에서 solution 이 없게 되는데 해당 경우에는 이는 로피탈 정리를 사용한다. 문제가 되는 항이 $\frac{e^{st} - e^{at}}{s-a}$ 이고 $0/0$ 으로 인한 문제가 생기는데 이 때 분자와 분모에 대해 $\frac{d}{ds}$ 를 취해주고 $s \rightarrow a$ 를 해준다.

 

$\frac{\frac{d}{ds}(e^{st} - e^{at})}{\frac{d}{ds}(s-a)} = \frac{t \cdot e^{st}}{1} \rightarrow t \cdot e^{at} (s \rightarrow a)$

 

$s = a$ 에서는 아래의 식이 성립한다.

 

$f(t) = t \cdot e^{at} + f_0 \cdot e^{at}$

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homogenous system 이 differential equation 에서 굉장히 중요한 개념이라는데 차근차근 공부하면서 가봐야겠다..