Separable equations & Exact equations

MIT 수업을 이해하기 아직 어렵다고 판단, KhanAcademy 의 ODE 수업을 듣고 다시 도전해보려 한다.

이번 포스팅에서는 Separable equations 와 Exact equations 부분을 간략하게 정리한다.

 

미분 방정식에는 다양한 형태가 있고, analytical 하게 풀 수 있는 문제가 있고 그럴 수 없다면 numerical method 로 풀어야 하는 경우도 있다. 우선 가장 간단한 형태인 seperable equation 의 형태를 먼저 알아본다.

Separable equations

일단 ODE이기 때문에, 하나의 변수 $x$ 와 이에 대한 함수값 $y$ 가 있다. 이에 따라 만들어지는 ODE는 $\frac{dy}{dx} = f(x,y)$ 의 형태를 띈다. separable equation은 이러한 ODE를 $N(x) \cdot dx = M(x) \cdot dy$ 와 같이 두 변수에 대한 미소변화를 각 항으로 분리할 수 있는 형태를 띈 equation 을 말한다. 이러한 형태를 띄는 경우엔 solution 을 찾기 쉬워지는데, 그 예를 아래에서 살펴보자.

 

$\frac{dy}{dx} = \frac{-x}{ye^{x^2}}$

$y dy = \frac{-x}{e^{x^2}} dx$

 

이제 양변에 적분을 취해준다.

$\int y dy = \int e^x e^{-x^2}dx$

$\frac{1}{2}y^2 + C_1 = \frac{1}{2}e^{-x^2} + C_2$

 

y에 대한 식으로 정리해준다.

$y^2 = e^{-x^2} + C_3$

$y = \pm e^{\frac{-x^2}{2}} + C$

 

위에 C라고 되어있는 상수 term은 specific solution 이 있다면 그것에 맞춰서 써주면 된다. ex) $y(0) = 1$

Exact equations

Exact equation도 미분방정식의 한 형태이다. 아래와 같은 식이 있다고 해보자.

식에는 $y,x$ 두 개의 변수가 있고, $y$는 $x$에 대한 것이다.

 

$\Phi(x,y) = \Phi(x, f(x))$

 

$\Phi(x,y)$ 을 $x$에 대해 미분해보면 아래와 같이 된다. 우변의 오른쪽은 연쇄 변칙에 따른 것이다.

$\frac{d \Phi(x,y)}{dx} = \frac{d \Phi(x,y)}{dx} \frac{d \Phi(x,y)}{dy}\frac{dy}{dx}$

 

Exact equation 은 우리에게 주어진 임의의 식이 위와 같은 형태인 경우를 찾는 것이다.

위에서 보인 식을 아래와 같이 simplify 해보자.

$\frac{d \Phi(x,y)}{dx} \frac{d \Phi(x,y)}{dy}\frac{dy}{dx} = M(x,y) + N(x,y)\frac{dy}{dx}$

 

$M(x,y) + N(x,y)\frac{dy}{dx}$ 의 형태를 가진 등식이 $\frac{d \Phi(x,y)}{dx}$에 대한 것임을 알기 위해서는 $M(x,y), N(x,y)$ 을 사용해서 그 여부를 파악하면 된다. 만약 $M(x,y), N(x,y)$이 $\Phi(x,y)$를 각각 $x,y$에 대해 미분한 것이라면 $\frac{d M(x,y)}{dy} = \frac{d N(x,y)}{dx}$ 가 충족되어야 한다. (\frac{d \Phi^2}{dxdy} = \frac{d \Phi^2}{dydx})

만약 이 조건이 충족된다면, 우리는 $\Phi(x,y)$ 가 무엇인지 그 형태를 알아낼 수 있다.

 

문제 하나를 풀어보자.

$(y cos x + 2 x e^y) + (sin x + x^2 e^y - 1)\frac{dy}{dx} = 0$

$\rightarrow M(x,y) + N(x,y)\frac{dy}{dx} = 0$

 

$\frac{d M(x,y)}{dy} = cos x + 2 x e^y$

$\frac{d N(x,y)}{dx} = cos x + 2 x e^y$

$\frac{d M(x,y)}{dy} = \frac{d N(x,y)}{dx}$

 

위의 유도 과정을 통해 우리에게 주어진 미분방정식이 exact equation 임을 알 수 있다. 이를 통해 함수 $\Phi(x,y)$ 를 구해보자.

$M(x,y) = \frac{d \Phi(x,y)}{dx}$

$\Phi(x,y) = \int \frac{d \Phi(x,y)}{dx} dx = y sin x + x^2 e^y + C(y)$

 

우리가 모르는 term $C(y)$는 $N(x,y)$를 이용해서 알아낼 수 있다.

$\frac{\Phi(x,y)}{dy} = N(x,y) = y sin x + x^2 e^y + \frac{d C}{dy} = y sin x + x^2 e^y -1$

$C(y) = -y + C$

 

$\Phi(x,y) = y sin x + x^2 e^y -y + C$