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논문 : 링크 켈리 공식이라고 알려져 있는 식에 대한 페이퍼를 읽고 정리해본다. 기본적으로 사용할 수식 표현은 아래와 같다. $X_0$ = 초기에 우리가 갖고 있는 돈$X_n$ = 투자를 특정 policy에 따라 해서 $n$ 번의 trial 후 얻게 될 돈$f$ = 우리가 갖고 있는 돈 $X$에서 betting할 금액의 비율$S$ = $n$ 번의 trial에서 우리가 돈을 딴 횟수$F$ = $n$ 번의 trial에서 우리가 돈을 잃은 횟수$n$ = 우리가 시도할 trial의 수$p$ = 승률$q$ = $1-p$ 이기면 betting한만큼 따고, 지면 그 돈을 모두 잃는다고 했을 때, 우리는 아래 수식을 얻을 수 있다. $S+F = n$$X_n = X_0 (1+f)^S (1-f)^F$ kelly crite..

강의 : 링크 non-homogeneous differential equation을  풀어볼 것이다. 아래와 같은 식이 있다.$y^{``} -3 y^{`} -4 y = 3 e^{2x}$ 식을 보면 알 수 있는데, 우변이 0이 아니기 때문에 homogeneous equation이 아니다. 이 경우 어떻게 풀까?이런 경우를 푸는 방식 중 하나가 undetermined coefficients 이다. 우리가 위 식에서 우 변을 0으로 둬서 homogeneous differential equation을 풀어서, solution $y = h$ 를 얻었다고 하자.그리고 non-homogeneous equation 을 풀어서 soltuion $y = j$ 를 얻었다고 하자. 그러면 두 solution 을 더하게 되면 ..

강의 : 링크 본 포스팅은 이전 문서 "First order homogeneous equations" 의 연장선 상에 대한 것이다. 저번에 다룬 식들을 보면 아래와 같다.$Ay^{``} + By^{`} + Cy = 0$$y = e^{rx}$$y(Ar^2 + Br + C) = 0$ $y$ 는 0이 될 수 없기에 2차식으로 근을 구해야 한다. 이 식은 아래와 같이 구할 수 있다.$\frac{-B \pm \sqrt{B^2 - 4AC}}{2A}$ 제목인 complex root가 나오는 경우는 $B^2 - 4AC  $\frac{-B - \sqrt{B^2 - 4AC}}{2A} = \frac{-B}{2A} \pm \frac{\sqrt{B^2 - 4AC}}{2A}$ 실수 파트와 허수 파트를 각각 $\lambda, \m..

강의 : 링크참고 : 링크, 링크, 링크 이번엔 2nd order linear homogeneous DE에 대해 알아본다.2nd order linear homogeneous DE에 대해 이해하기 위해 키워드 단위로 하나씩 알아가보자. 우선 2nd order linear homogeneous DE은 아래처럼 생겼다. 이 때 $d(x) = 0$ 이여야 한다.$a(x) \frac{d^2y}{dx^2} + b(x) \frac{dy}{dx} + c(x)y = d(x)$ 2nd order 인 이유는 주어진 식이 갖는 differential operator $\frac{d^i}{dx^i}$ 의 최대 degree $i$ 가 2이기 때문이다.linear 인 이유는 계수 함수 $a(x), b(x), c(x)$와 unkno..

강의 : [링크]참고 : [링크] [링크] homogeneous function이란 함수의 인자에 임의의 scalar $s$ 를 곱해준 것과 함수의 결과값에 임의의 scalar $s$에 $k$ 제곱을 곱해준 것이 서로 같으면 $k$ degree에 대해서 homogeneous 한다고 얘기한다. 식으로 표현하면 아래와 같다. $f(s x_1, ..., s x_n) = s^k \dot f(x_1, ..., x_n)$ 만약 양수 $s$ 에 대해서만 성립하는 $f$ 라면 positively homogeneous 라고 하며 대표적으로 vector norm이 있다. 강의에서 first order homogeneous equation 의 설명을 아래와 같이 한다. 미분 방정식이 아래와 같이 있을 때,$\frac{dy..

MIT 수업을 이해하기 아직 어렵다고 판단, KhanAcademy 의 ODE 수업을 듣고 다시 도전해보려 한다.이번 포스팅에서는 Separable equations 와 Exact equations 부분을 간략하게 정리한다. 미분 방정식에는 다양한 형태가 있고, analytical 하게 풀 수 있는 문제가 있고 그럴 수 없다면 numerical method 로 풀어야 하는 경우도 있다. 우선 가장 간단한 형태인 seperable equation 의 형태를 먼저 알아본다.Separable equations일단 ODE이기 때문에, 하나의 변수 $x$ 와 이에 대한 함수값 $y$ 가 있다. 이에 따라 만들어지는 ODE는 $\frac{dy}{dx} = f(x,y)$ 의 형태를 띈다. separable equati..