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강의 : 링크 이전 포스팅에서 laplace transform 에 대한 변환식과 몇가지 함수의 변환값을 알아보았다.추가적인 변환값은 라플라스 변환표를 검색해보면 나오니 참고하면 좋을 듯 하다. 본 포스팅에서는 이전 시리즈에서 풀었던 미분방정식을 laplace transform 을 사용해서 풀어보려 한다. $F(s) = \frac{2(s-1)e^{-2s}}{s^2-2s+2}$  $F(s) = \frac{2(s-1)e^{-2s}}{s^2-2s+2} = \frac{2(s-1)e^{-2s}}{(s-1)^2+1} = 2e^{-2s} \frac{s-1}{(s-1)^2+1}$ $\frac{s-1}{(s-1)^2+1}$ 부분부터 보자. 해당 부분은 $cos(t)$ 의 변환값의 형태임을 알 수 있다. $s$ 값에 $F(..

강의 : 링크 미분 방정식을 쉽게 풀기 위한 유용한 도구인 laplace transform에 대해 알아본다.laplace transform 의 식은 아래와 같다. $\mathscr{L}\{f(t)\}=\int_{t=0}^{\infty}f(t)e^{-st}dt = F(s)$ 위를 보게 되면 $\mathscr{L}$ 변환을 통해 $t$ 에 대한 식인 $f(t)$ 를 $s$ 에 대한 식으로 변환된다.후에 역변환을 통해 다시 $t$에 대한 식으로 되돌려주게 되는데 이 과정을 통해 미분방정식을 더 쉽게 풀 수 있게 해준다고 한다. 본 포스팅에서는 몇 가지 $f(t)$ 에 대해  laplace transform 을 해보도록 하겠다. 여기서는 변환만 소개하고 역변환을 포함한 미분 방정식 풀이는 다음 포스팅에서 마저 ..

강의 : 링크 non-homogeneous differential equation을  풀어볼 것이다. 아래와 같은 식이 있다.$y^{``} -3 y^{`} -4 y = 3 e^{2x}$ 식을 보면 알 수 있는데, 우변이 0이 아니기 때문에 homogeneous equation이 아니다. 이 경우 어떻게 풀까?이런 경우를 푸는 방식 중 하나가 undetermined coefficients 이다. 우리가 위 식에서 우 변을 0으로 둬서 homogeneous differential equation을 풀어서, solution $y = h$ 를 얻었다고 하자.그리고 non-homogeneous equation 을 풀어서 soltuion $y = j$ 를 얻었다고 하자. 그러면 두 solution 을 더하게 되면 ..

강의 : 링크 본 포스팅은 이전 문서 "First order homogeneous equations" 의 연장선 상에 대한 것이다. 저번에 다룬 식들을 보면 아래와 같다.$Ay^{``} + By^{`} + Cy = 0$$y = e^{rx}$$y(Ar^2 + Br + C) = 0$ $y$ 는 0이 될 수 없기에 2차식으로 근을 구해야 한다. 이 식은 아래와 같이 구할 수 있다.$\frac{-B \pm \sqrt{B^2 - 4AC}}{2A}$ 제목인 complex root가 나오는 경우는 $B^2 - 4AC  $\frac{-B - \sqrt{B^2 - 4AC}}{2A} = \frac{-B}{2A} \pm \frac{\sqrt{B^2 - 4AC}}{2A}$ 실수 파트와 허수 파트를 각각 $\lambda, \m..

강의 : 링크참고 : 링크, 링크, 링크 이번엔 2nd order linear homogeneous DE에 대해 알아본다.2nd order linear homogeneous DE에 대해 이해하기 위해 키워드 단위로 하나씩 알아가보자. 우선 2nd order linear homogeneous DE은 아래처럼 생겼다. 이 때 $d(x) = 0$ 이여야 한다.$a(x) \frac{d^2y}{dx^2} + b(x) \frac{dy}{dx} + c(x)y = d(x)$ 2nd order 인 이유는 주어진 식이 갖는 differential operator $\frac{d^i}{dx^i}$ 의 최대 degree $i$ 가 2이기 때문이다.linear 인 이유는 계수 함수 $a(x), b(x), c(x)$와 unkno..

강의 : [링크]참고 : [링크] [링크] homogeneous function이란 함수의 인자에 임의의 scalar $s$ 를 곱해준 것과 함수의 결과값에 임의의 scalar $s$에 $k$ 제곱을 곱해준 것이 서로 같으면 $k$ degree에 대해서 homogeneous 한다고 얘기한다. 식으로 표현하면 아래와 같다. $f(s x_1, ..., s x_n) = s^k \dot f(x_1, ..., x_n)$ 만약 양수 $s$ 에 대해서만 성립하는 $f$ 라면 positively homogeneous 라고 하며 대표적으로 vector norm이 있다. 강의에서 first order homogeneous equation 의 설명을 아래와 같이 한다. 미분 방정식이 아래와 같이 있을 때,$\frac{dy..

MIT 수업을 이해하기 아직 어렵다고 판단, KhanAcademy 의 ODE 수업을 듣고 다시 도전해보려 한다.이번 포스팅에서는 Separable equations 와 Exact equations 부분을 간략하게 정리한다. 미분 방정식에는 다양한 형태가 있고, analytical 하게 풀 수 있는 문제가 있고 그럴 수 없다면 numerical method 로 풀어야 하는 경우도 있다. 우선 가장 간단한 형태인 seperable equation 의 형태를 먼저 알아본다.Separable equations일단 ODE이기 때문에, 하나의 변수 $x$ 와 이에 대한 함수값 $y$ 가 있다. 이에 따라 만들어지는 ODE는 $\frac{dy}{dx} = f(x,y)$ 의 형태를 띈다. separable equati..

MIT OpenCourseWare 를 듣고 있고, Response to Exponential Input에 대한 부분을 듣고 문제 풀이를 쓴다. 문제는 아래와 같다. $\frac{df}{dt} = a \cdot f + e^{st}$ $f_p$$ = k \cdot e^{st}$ (particular solution) $f = f(0) \text{ at } t = 0$ narrative하게 만들면, $f$ 가 계좌에 있는 내 돈 (balance)이고, $a$ 가 이자율이며, $t$ 는 시간(년), $s$ 가 적금액이 되겠다. differential equation은 주로 homogeneous part 와 non-honogeneous part 로 나뉘어지는데, honogenouse differential equ..